پاسخی به پرسشی ناگفته در آموزش ریاضی: چرا دانشجویان نمی‌توانند به‌طور طبیعی به مثال نقض فکر کنند؟

به نظر می‌رسد به جز یکی از علاقمندان ریاضی، همکاران فرصت نکرده‌اند که به پرسش من یعنی (چرا اکثر ریاضی‌دانان‌ در ارایه مثال نقض غیربدیهی حتی در زمینه تخصصی خود ناتوان هستند؟) در پیام پیشین پاسخ دهند. بنابراین، در این یادداشت مایلم نظر خود را در پاسخ به آن پرسش بیان کنم.

پاسخ، در عین سادگی، از ریشه‌ای عمیق برخوردار است: هیچ‌یک از ما در دوران مدرسه و دبیرستان آموزش موثری برای اندیشیدن به مثال نقض ندیده‌ایم. تجربه ما در آموزش ریاضی، چه در دبیرستان و چه در دانشگاه، عمدتاً بر محور اثبات قضایا یا حل مسایل بوده است. عباراتی نظیر «قضیه A را ثابت کنید» یا «مسیله X را حل کنید» ساختار غالب تمرینات ما را شکل داده‌اند. در همه این موارد، با گزاره‌هایی روبه‌رو بوده‌ایم که درست فرض شده‌اند و از ما خواسته شده با استفاده از دانسته‌های‌مان، درستی آن‌ها را اثبات کنیم.

بسیار به‌ندرت از ما خواسته شده که گزاره‌ای را رد کنیم، یا به عبارت دیگر، اثبات نادرستی یا مثال نقض ارایه دهیم. این کمبود سبب شده است که دانش‌آموزان و دانشجویان به‌طور طبیعی و نظام‌مند در مسیر تفکر نقادانه و توانایی تشخیص خطاها پرورش نیابند. البته می‌توان استدلال کرد که هر اثباتی به‌طور ضمنی ردِ گزاره‌ی متضاد است، اما این صرفاً یک توجیه صوری برای پوشاندن کم‌کاری نظام آموزشی در پرورش توانایی ارایه‌ی مثال نقض است.

به نظر من، برای جبران این خلأ، باید تغییری اساسی در آموزش ریاضی ایجاد شود، که مستلزم داشتن معلمانی علاقه‌مند، پیگیر و پرتلاش است. پیشنهاد مشخص من این است:

در دبیرستان و دانشگاه، تا جای ممکن، قضایا را به‌صورت «اگر و تنها اگر» بیان کنیم. اگر عکس یک قضیه در منابع نبود، از دانش‌آموزان یا دانشجویان بخواهیم درباره‌ی درستی آن فکر کنند و در صورت نادرستی، تلاش کنند مثال نقضی بیابند.

در آغاز هر درس، اعلام کنیم که در طول ترم، یک یا چند گزاره یا مسیله مطرح خواهد شد که عمداً نادرست‌اند، چه از نظر محتوا و چه از نظر اثبات یا راه‌حل. وظیفه‌ی دانشجویان این خواهد بود که با دقت و استدلال، آن‌ها را شناسایی کرده و به‌صورت مکتوب به اطلاع استاد برسانند. در صورت تشخیص صحیح، نمره‌ای مناسب در امتحان پایان‌ترم برای ایشان در نظر گرفته خواهد شد.

این روش، علاوه بر کاهش استرس امتحان، باعث می‌شود دانش‌آموزان و دانشجویان به‌جای حفظ مطالب، در فهم عمیق آن‌ها بکوشند. البته این شیوه، کار معلم را سنگین‌تر می‌کند، چراکه باید در هر ترم قضایا و مسایل تازه‌ای را برای این منظور طراحی کند. اما در عوض، توجه دانشجویان علاقه‌مند را به‌شدت افزایش خواهد داد.

حتی در برخی ترم‌ها می‌توان همه‌ی قضایا و مسایل را درست بیان کرد، اما به دانشجویان اعلام نمود که ممکن است اشکالاتی وجود داشته باشد؛ این کار باعث دقت بیشتر آن‌ها در مطالعه می‌شود. در نهایت، هر معلم می‌تواند بسته به سبک شخصی خود، این روش را تعدیل یا توسعه دهد.

اجرای موفق این شیوه، نیازمند برگزاری دوره‌های آموزشی برای معلمان، به‌ویژه از پایه دهم دبیرستان و نیز در ترم اول دانشگاه است. اگر این رویکرد با برنامه‌ریزی، ایجاد انگیزه، و حمایت از معلمان جوان همراه باشد، پس از گذشت چند سال، جایگاه اثبات و رد در آموزش ریاضی به تعادلی شایسته خواهد رسید.

شاید این طرح در ابتدا بلندپروازانه به نظر برسد، اما با پشتکار و همدلی، می‌توان آن را اجرا کرد. این موضوع، پروژه‌ تحقیقاتی یکی از دانشجویان دکتری من در حوزه‌ی آموزش ریاضی بود؛ دانشجویی مستعد و پرتلاش که متأسفانه به دلیل زایمان، نگهداری از فرزند و مشکلات خانوادگی ناچار به ترک تحصیل شد.

مایلم از همکاران بخواهم که دیدگاه‌ها و نقدهای خود را درباره‌ی این روش با من و یکدیگر در میان بگذارند. شاید با همکاری یکدیگر بتوانیم گامی در جهت بهبود آموزش ریاضی در این عصر هوش مصنوعی برداریم؛ الگویی که حتی می‌تواند الهام‌بخش نظام‌های آموزشی دیگر کشورها نیز باشد.

فراموش نکنیم: زمانی که آمریکایی‌ها در حوزه توپولوژی از اروپای شرقی عقب‌ بودند، این روش مور^(۱) در تدریس توپولوژی بود که توانست نسل درخشانی از توپولوژیست‌ها را در آمریکا پرورش دهد که بینگ^(۲)، وای برن ^(۳)، و ماری رودین ^(۴) سه تن از آنان بودند که ماری ر‌ودین برای مثال‌های  نقص پیچیده‌ای که در توپولوژی ساخت باعث پیشرفت قسمت مهمی در توپولوژی که به نظریه مجموعه‌ها وابسته بود شد.

O.A.S. Karamzadeh, “If, and only if” in Mathematics, EMS Magazine, ۲۰۲۴, pp. ۱–۶.

(۱) R. L. Moore

(۲) R.H. Bing

(۳)G.T. Whyburn

(۴)Marry Ellen Rudin